Matematikk og musikk: tallfølger og irrasjonelle tall

Hva uttrykker musikk? Hva inspirerer komponister?

Hva med matematikk?

Koblingen mellom musikk og matematikk har en lang historie. Musikk og lyd kan på et grunnleggende nivå beskrives ved aritmetikk (det vil si ved telling og de fire regneartene), noe man oppdaget allerede i oldtiden:
– konsonerende intervaller kan uttrykkes med brøker av enkle forholdstall1
– takt og rytme er faktisk telling og enkel aritmetikk
– Til og med klangen i én enkelt tone, som bestemmes av deltonene/overtonene, kan beskrives utfra multiplikasjon av frekvenser. 2

I middelalderen var musikk gruppert som et av fagene i Quadrivium: de matematiske fagene, sammen med aritmetikk, geometri, og astronomi.

Senere ble musikk sett på som et uttrykk for det åndelige; det som ikke kunne uttrykkes med ord, og det som kom til utvalgte begavede musikere og komponister i form av en mystisk inspirasjon (dette er det romantiske kunstsynet). Men mange komponister inkorporte likevel tall og matematikk i sine verk, som Bela Bartok (systemet til Bartok var basert på fibonacci-tall, beundringsverdig oppdaget og beskrevet av musikkteoretikeren Ernő Lendvai), og Johann Sebastian Bach, for å nevne noen.

(Jeg merker at dette fortjener en mer grundig behandling i en senere bloggpost).

Det nyeste verket mitt for slagverk, «Approximating the Irrational», er det første hvor jeg utforsker teorier hentet fra matematikk, i et musikalsk uttrykk. Matematikken er inspirasjon for verket, men utgjør også en viktig del av strukturen i musikken.

Utgangspunktet for stykket er tallfølger3 og irrasjonelle tall. Irrasjonelle tall er tall som ikke kan uttrykkes som en brøk. Et kjent eksempel er pi. Men disse tallene kan uttrykkes på andre måter. Tallet kvadratroten av 2 er kan uttrykkes ved hjelp av en uendelig tallfølge, nemlig ved å bruke de såkalte Pell-tallene. En annen kjent tallfølge er Fibonacci-følgen, som kan brukes til å uttrykke det gyldne snitt, et annet irrasjonelt tall.

Jeg har brukt 4 tallfølger i verket:
Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 osv
Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11 osv
Pell: 1, 2, 5, 12, 29 osv
Pell-Lucas: 2, 6, 14, 34 osv

Brøkene av tallene fra Fibonacci-følgen konvergerer mot det gyldne snitt, og de er derfor tilnærminger til det irrasjonelle tallet som utgjør det gyldne snitt. Altså: brøkene 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 osv tilnærmer det gyldne snitt.

Det samme gjelder Lucas-følgen.

Pell-tallene og Pell-Lucas kan brukes til å danne brøker som tilnærmer kvadratroten av to, eller rettere sagt 1 + √2, som i en analogi til det gyldne snitt er gitt navnet «sølv-snitt» (silver ratio).

På den måten kan jeg hevde å bruke «irrasjonelle rytmer».4

Verket er i tre satser, der hver sats utforsker ulike aspekter ved disse tallfølgene:

  • 1. sats, Fibonacci and Lucas: Denne satsen bruker tall fra Fibonacci-følgen og Lucas-følgen, noe som skaper uvante og irregulære rytmer.
  • 2. sats, Gold and Silver: Denne satsen er grafisk notert. Alle tidsinndelingene bruker enten det gyldne snitt, eller sølv-snitt. Her kan de irrasjonelle tallene i teorien noteres nøyaktig (siden de noteres grafisk langs en tidsakse), men utføringen vil nødvendigvis bli omtrentlig som all utføring av grafisk notasjon (se dette blogginnlegget for mer om grafisk notasjon).
  • 3. sats: Square Root of 2 and Square Root of 5: Utforsker «irrasjonelle» pulsforhold. Det vil si pulsforhold hentet fra brøkene av Pell-følgen, Fibonacci og Lucas-følgen. Ulike pulstempo går samtidig, og gir en tilnærmet «irrasjonell» polyrytmikk, tilnærmet kvadratroten av 2 og kvadratroten av 5.

Verket vil med denne metoden utforske noen spesielle og kompliserte
rytmer, og vil illustrere et spennende konsept innenfor matematikk.

Jeg kommer tilbake med noteeksempler og lydklipp senere.

Approximating the Irrational
Verk for 3 slagverkere
tid: ca 10 min.

Fotnoter:

  1. Oppdaget av Pythagoras (c.570 – c.495 f.kr.)
  2. Beskrevet av matematikeren Fourier (1768 – 1830)
  3. Tallfølge: på engelsk sequence, en rekke av tall. Tallfølgene Fibonacci og Lucas er rekursive følger der hvert ledd utledes fra foregående ledd.
  4. På engelsk finnes uttrykket «Irrational rhythms» som beskrivelse på bruk av trioler og andre uregelmessige inndelinger av takt, men dette er ikke irrasjonelle tall etter korrekt matematisk språkbruk.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *