Kategoriarkiv: komposisjoner

Matematikk og musikk: tallfølger og irrasjonelle tall

Hva uttrykker musikk? Hva inspirerer komponister?

Hva med matematikk?

Koblingen mellom musikk og matematikk har en lang historie. Musikk og lyd kan på et grunnleggende nivå beskrives ved aritmetikk (det vil si ved telling og de fire regneartene), noe man oppdaget allerede i oldtiden:
- konsonerende intervaller kan uttrykkes med brøker av enkle forholdstall1
- takt og rytme er faktisk telling og enkel aritmetikk
- Til og med klangen i én enkelt tone, som bestemmes av deltonene/overtonene, kan beskrives utfra multiplikasjon av frekvenser. 2

I middelalderen var musikk gruppert som et av fagene i Quadrivium: de matematiske fagene, sammen med aritmetikk, geometri, og astronomi.

Senere ble musikk sett på som et uttrykk for det åndelige; det som ikke kunne uttrykkes med ord, og det som kom til utvalgte begavede musikere og komponister i form av en mystisk inspirasjon (dette er det romantiske kunstsynet). Men mange komponister inkorporte likevel tall og matematikk i sine verk, som Bela Bartok (systemet til Bartok var basert på fibonacci-tall, beundringsverdig oppdaget og beskrevet av musikkteoretikeren Ernő Lendvai), og Johann Sebastian Bach, for å nevne noen.

(Jeg merker at dette fortjener en mer grundig behandling i en senere bloggpost).

Det nyeste verket mitt for slagverk, «Approximating the Irrational», er det første hvor jeg utforsker teorier hentet fra matematikk, i et musikalsk uttrykk. Matematikken er inspirasjon for verket, men utgjør også en viktig del av strukturen i musikken.

Utgangspunktet for stykket er tallfølger3 og irrasjonelle tall. Irrasjonelle tall er tall som ikke kan uttrykkes som en brøk. Et kjent eksempel er pi. Men disse tallene kan uttrykkes på andre måter. Tallet kvadratroten av 2 er kan uttrykkes ved hjelp av en uendelig tallfølge, nemlig ved å bruke de såkalte Pell-tallene. En annen kjent tallfølge er Fibonacci-følgen, som kan brukes til å uttrykke det gyldne snitt, et annet irrasjonelt tall.

Jeg har brukt 4 tallfølger i verket:
- Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 osv
- Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11 osv
- Pell: 1, 2, 5, 12, 29 osv
- Pell-Lucas: 2, 6, 14, 34 osv

Brøkene av tallene fra Fibonacci-følgen konvergerer mot det gyldne snitt, og de er derfor tilnærminger til det irrasjonelle tallet som utgjør det gyldne snitt. Altså: brøkene 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 osv tilnærmer det gyldne snitt.

Det samme gjelder Lucas-følgen.

Pell-tallene og Pell-Lucas kan brukes til å danne brøker som tilnærmer kvadratroten av to, eller rettere sagt 1 + √2, som i en analogi til det gyldne snitt er gitt navnet «sølv-snitt» (silver ratio).

På den måten kan jeg hevde å bruke «irrasjonelle rytmer».4

Verket er i tre satser, der hver sats utforsker ulike aspekter ved disse tallfølgene:

  • 1. sats, Fibonacci and Lucas: Denne satsen bruker tall fra Fibonacci-følgen og Lucas-følgen, noe som skaper uvante og irregulære rytmer.
  • 2. sats, Gold and Silver: Denne satsen er grafisk notert. Alle tidsinndelingene bruker enten det gyldne snitt, eller sølv-snitt. Her kan de irrasjonelle tallene i teorien noteres nøyaktig (siden de noteres grafisk langs en tidsakse), men utføringen vil nødvendigvis bli omtrentlig som all utføring av grafisk notasjon (se dette blogginnlegget for mer om grafisk notasjon).
  • 3. sats: Square Root of 2 and Square Root of 5: Utforsker «irrasjonelle» pulsforhold. Det vil si pulsforhold hentet fra brøkene av Pell-følgen, Fibonacci og Lucas-følgen. Ulike pulstempo går samtidig, og gir en tilnærmet «irrasjonell» polyrytmikk, tilnærmet kvadratroten av 2 og kvadratroten av 5.

Verket vil med denne metoden utforske noen spesielle og kompliserte
rytmer, og vil illustrere et spennende konsept innenfor matematikk.

Jeg kommer tilbake med noteeksempler og lydklipp senere.

Approximating the Irrational
Verk for 3 slagverkere
tid: ca 10 min.

Fotnoter:

  1. Oppdaget av Pythagoras (c.570 – c.495 f.kr.)
  2. Beskrevet av matematikeren Fourier (1768 – 1830)
  3. Tallfølge: på engelsk sequence, en rekke av tall. Tallfølgene Fibonacci og Lucas er rekursive følger der hvert ledd utledes fra foregående ledd.
  4. På engelsk finnes uttrykket «Irrational rhythms» som beskrivelse på bruk av trioler og andre uregelmessige inndelinger av takt, men dette er ikke irrasjonelle tall etter korrekt matematisk språkbruk.

New CD with music for solo piano

I have just released a CD with nine compositions for solo piano on the label Euridice Turn Left. It can be ordered at Lawo-store, or by sending an e-mail to me.

Spotify link: https://open.spotify.com/album/0LPRfSDve2Qi30RtqfdQzT

The tracks on the CD includes:

- Sculptures of Ice
- Aurora Borealis
- Glacier
- People of the Arctic

All the compositions draw inspiration from the Arctic nature. Much of it has an impressionistic quality, with its musical imagery and reflections on nature. The compositions are pianistic and sometimes virtuosic, with a focus on sound colors and harmonic explorations.

Most of the recording was done in Borge church in Lofoten, on a Steinway model D instrument. The Lofoten archipelago makes for some stunning natural surroundings.

In the area there is also a reconstructed viking castle, the Lofotr vikingmuseum. Highly recommended for a visit.

For photos for the CD cover, I went to the Igloo Hotel in Sorrisniva, a hotel made of snow and ice. It has an absolutely magical atmosphere!

The scores for these compositions are available for download here on this website. You can also order hard copies here.
Here is a small video from the recording session:

Folkemusikkstudentene ved Ole Bull-akademiet

Vi i Ny musikks komponistgruppe og folkemusikkstudentene ved Ole Bull-akademiet har gjennomført et spennende samarbeidsprosjekt i 2015. Studentene på Voss er en super gjeng og det var artig å jobbe sammen med dem. Prosjektet endte i en konsert i Bergen der fem nyskrevne verk ble framført.

Ideen til prosjektet hadde jeg fra Atlas-ensemblet i Amsterdam, der jeg våren 2012 deltok på et kurs og workshop. Dette er en organisasjon som samler folkemusikere fra hele verden, spesielt kina, japan, sentralasia og midt-østen. Disse danner ulike konstellasjoner og spiller nyskrevet musikk. En slik samling av så mange ulike musikktradisjoner og mennesker fra hele verden er musikalsk interessant, og også sterkt symbolsk.

I Norge er vi så heldige å ha en rik folkemusikktradisjon som mange andre land kan misunne oss. Og i de siste årene har det jo vært en oppblomstring av folkemusikere og grupper, både her og i Sverige (som vi har mye til felles med). Unge musikere i dag jobber både med den tradisjonelle folkemusikken, men videreutvikler også folkemusikken i retning vise, rock, og jazz. Groupa er et band jeg nylig har oppdaget. Det er ikke et nytt band, men de har vært pionerer i Sverige i det å utvikle en nyskapende og moderne form for folkemusikk, og har inspirert mange som har kommet etter dem.

Innen klassisk musikk ble den norske folkemusikken utnyttet maksimalt som den rike kilden til inspirasjon den var på 1800-tallet, av Grieg og komponister etter han.1 Den ble kanskje utnyttet i så stor grad at mange trengte en pause og nye friske inspirasjonskilder. Likevel er det i dag muligheter som ikke er uttømt innenfor kunstmusikk, i det å ta på alvor folkemusikkinstrumentene og tradisjonene fra folkemusikken. Med «å ta på alvor» mener jeg å utforske mulighetene som ligger i instrumentene, og ikke bare bruke de som et eksotisk og fargeleggende element slik som ofte ble gjort av de nasjonalromantiske komponistene.

Bare det å bruke instrumenter som ikke er vanlig å bruke i klassisk musikk er spennende for en komponist. En musikksjanger defineres i høy grad ut fra instrumenter. Hvis man setter sammen en gruppe folkemusikkinstrumenter, men lar de spille noe annet enn folkemusikk, er det da folkemusikk? Nye spennende musikalske resultat kan komme ut av nye måter å bruke de tradisjonelle instrumentene på.

En utfordring er å nærme seg hverandre fra en klassisk notebasert tradisjon, til folkemusikkens gehørbaserte tradisjon2. Vi hadde flere ulike tilnærminger til dette. I mitt tilfelle arbeidet jeg med notert musikk, men jeg lagde også lydfiler til musikerne slik at de hadde mulighet til å lære det på øret. (Det ble likevel såpass komplisert at det var nødvendig å bruke noter). Andre tok utgangspunkt i en auditiv modell, litt friere tolket av musikerne. Andre igjen brukte motiver og små melodier som musikerne allerede kunne, som komponisten kunne bruke som byggemateriale og sette sammen til en komposisjon.

Min komposisjon var basert på en gangar, men jeg er ikke sikker på om man ville gjenkjenne stykket som tradisjonell folkemusikk. Instrumentene jeg hadde var to hardingfeler og to toradere. Dette prosjektet var en prosess der jeg ville undersøke hva man kunne gjøre med disse instrumentene, det vil si spilleteknikker og komposisjonsteknikker som kanskje ikke vanligvis brukes innenfor folkemusikken.

Her er en film om prosjektet:

Ny Folkemusikk from Ny Musikks Komponistgruppe on Vimeo.

    Fotnoter:

  1. Dette førte til en interesse for det norrøne og en mytisk idealisert fortid blant noen komponister på 1930-tallet, for eksempel Geirr Tveitt, noe som fikk uheldige ideologiske konsekvenser
  2. En av de vanlige definisjonene på folkemusikk er nettopp at den er muntlig overført, eller «tradert».

Nordlands Horizont, Elementer og Veyrligt: verk for kor

«Nordlands Horizont, Elementer og Veyrligt» er tittelen på et kapittel av Nordlands Trompet av Petter Dass. (les diktet her). Diktverket er en fantastisk tekst som hyller Nordland og dets folk på alle måter. Jeg hadde lyst å bruke tekst fra dette diktet til et korverk, og valgte det kapitlet som beskriver årstider, vær og vind i landsdelen. Jeg ville prøve å beskrive været og klimaet med musikken.

Første del, «Vrede elementer», beskriver god nordnorsk vind og uvær. Kompositorisk består det av en homogen forgrunn av solide klanger på en tekstbasert rytme, i dramatiske og store kontraster. I bakgrunnen skimrer et motiv av to alternerende toner som et symbol på vinden.

Korverket ble framført på Bodø domkors jubileumskonsert 9. november 2014. Siden jeg selv er med i koret var det både en stor ære å få stykket framført av koret, og også svært spennende. Som kormedlem er jeg tett på de andre medlemmene og kjenner mange godt, og jeg var spent på hvordan folk ville ta i mot stykket mitt.

(I parantes vil jeg si at dette burde jo være det naturlige i musikklivet; at man skriver og framfører musikk sammen med venner og kjente, men i den klassiske musikkverdenen er det jo oftere at komponisten er en fremmed som ikke kjenner utøverne personlig. Ofte er han også fra en helt annen tid enn vår egen).

Konserten fikk en flott anmeldelse i Avisa Nordland.

Lytt til et lite utdrag av stykket:

«Nordlands Horizont, Elementer og Veyrligt» er en nokså lang tekst, nok til en hel syklus. Jeg delte opp teksten i 6 deler eller emner, valgte ut noen tekstbrokker fra hver del. Jeg tenkte meg opprinnelig et større verk i flere deler, men endte med å bare bruke 2-3 av delene.

Slik jeg leser teksten kan den deles i seks deler som handler om disse temaene:

  • kulde
  • mørketid
  • midnattsol
  • storm og uvær på havet
  • de som omkom på havet
  • en slags værmelding – diverse meteorologiske fenomener

Jeg brukte tekstene om kulde, storm og uvær, og om mørketid, som ble til to satser i verket. Her er teksten:

DEL 1: VREDE ELEMENTER

iskolde…
Vred’ elementer
iskolde…
Her vexler Neptunus med Æolo mynt
Ulidelig frysen, stormende sludd
Nu fyres her oven med torden og gny
Nu brumler fortflyvende flaver i sky
frysen, iskolde…
Nu fyger, nu ryger Neptunus umild
Nu hagler, nu blunker den blussende ild
Så snart går ei Jupiters fyrverker av
At derved jo skjelver båd’ himmel og hav
Flux over oss hersker hin iskolde pol,
Beliggend’ langt borte fra strålmilden sol.

DEL 2: IDELIG NATT

Hvad Vinteren andet end idelig natt
Solen forborger sitt øye
Går moxen om høyeste middag i vann
Så der ikkun vises av dagen en rand
Mot østen ved bjergenes høye
Nu halver hun øyet, nu har hun det hel
Nu atter fordølger sig slett for en del
Så vexles de gyldende brande
En time fremgår hun med strålende hjul
En annen stund henne bak fjellet i skjul
Thi vinteren fører stedsvarende mørk,
Indfalder i landet, som over en ørk:
Uendelig netter tilhope
En spørger, hør Broder: hvor langt er til Dag?
En annen mann spørger med lengsel og plag
Vil dag ikke snarligen vorde?

Eivind Grovens orgel på Ultima 2014

Ny musikks komponistgruppe (NMK) har over de to siste årene hatt et prosjekt i samarbeid med Notam, som har resultert i flere komposisjoner skrevet for Eivind Grovens såkalte renstemte orgel. Nå på Ultima-festivalen presenterte NMK en konsert med fire komposisjoner av komponistene Peter Edwards, Rebecka Sofia Ahvenniemi, Eric Egan, og meg selv. Jeg har tidligere skrevet om Groven og orgelet hans.

Eivind Grovens orgel

Den originale spillepulten som Eivind Groven laget (bildet), er forøvrig veldig fin, på en retro-måte. I dag er den ikke i bruk, siden Grovens automatiske system er overført til et dataprogram, og styres med et midi-keyboard. Men jeg håper noen på en eller annen måte kan restaurere denne spillepulten (kanskje ved å sette inn midi?)

Det ble en unik konsert der også David Loberg Code fra Notam, som har arbeidet med å overføre Grovens automat til et dataprogram, var tilstede og holdt et lite foredrag om renstemming og Grovens system. Som han sa er uttrykket «renstemt» orgel litt misvisende. Et bedre uttrykk er «multi-tuned» eller multistemt, siden orgelet kan stemmes på mange ulike måter, i tillegg til den automatiske renstemmingen. For Groven selv var målet både renstemming, og det å kunne gjenskape folkemusikkens mer uvanlige stemminger.

Pianisten Sara Aimee Smiseth var for anledningen organist og framførte to komposisjoner av Groven selv, i tillegg til de fire nye komposisjonene.

Min komposisjon, «Groven spiller Jondølen», for orgel og elektronisk lydspor, tar utgangspunkt i hardingfeleslåtten Jondølen, innspilt av Eivind Groven selv. Innspillingen bearbeides elektronisk til et lydspor der det fokuseres på klang og tonehøyder. Lydsporet danner også materiale for orgelstemmen. Stykket utforsker 6 ulike skalaer eller stemmemåter på orgelet, og jeg ville utnytte mulighetene man har til å hurtig forandre stemming på orgelet underveis i stykket.

(lydklipp kommer)

Her skal jeg være litt selvkritisk. Jeg er ikke sikker på om jeg med dette stykket fikk utnyttet orgelet på best mulig måte. Den opprinnelige inspirasjonen min var teknisk, med fokus på FFT-analyse og resyntese, i et samspill mellom orgel og elektroniske lyder. Denne ideen ville antakeligvis vært bedre realisert som et rent elektronisk stykke. Nå ble verket en ganske merkelig blanding av lydsyntese, hardingfele-elementer, og et «underlig stemt orgel».

Dette ble likevel interessant nok og stykket ble vellykket, men det elektroniske lydsporet ble veldig bærende for komposisjonen og overskygget kanskje orgelets egne muligheter. I ettertid fikk jeg lyst til å skrive et rent akustisk stykke, for orgel og kanskje et annet, akustisk instrument, som i enda større grad utforsker ulike skalaer og de ulike klangfargene de kan skape. Det unike med instrumentet er jo at det er et akustisk instrument med muligheter for mange unike stemmemåter. En av komposisjonene til Groven selv, «I Balladetone», var svært interessant og flott å høre med tanke på den litt merkelige klangen man opplever i den arkaiske folkemusikkinspirerte stemmemåten.

Tone, klangfarge, akkord

I dette stykket, «pianospill», et abstrakt elektronisk stykke, er alle lydene avledet av én pianotone. Video-effekter er laget med Vizzie.

I stykket formes lyden ved å vri og vrenge på pianoklangen, og overganger mellom tone, klangfarge, og akkord utforskes.

En pianotone har et svært rikt og inharmonisk spekter, og ved å trekke ut hver enkelt overtone kunne jeg gjenskape pianoklangen syntetisk. Jeg har også bygget opp klangen med pianotoner stemt som overtonene, og dermed krysset grensene mellom tone, klangfarge, spekter, og harmonikk.

Spekteret til dypeste "A" på pianoet

Spekteret til dypeste «A» på pianoet. Kun de sterkeste deltonene er tatt med.

I forrige innlegg nevnte jeg Stockhausen og de tidlige lydstudioene. Stockhausen var en av dem som utforsket muligheten til å syntetisere lyd (med en lyd-syntetisérer?) med sinustonegeneratorer. I teorien skulle man kunne lage en hvilken som helst lyd ved å stable sinustoner oppå hverandre. Matematikeren Fourier viste i 1822 at enhver periodisk funksjon kan beskrives som en sum av sinus- og cosinus-bølger. I praksis skulle det vise seg å være tilnærmet umulig, i hvertfall med datidens utstyr.

Med dagens datateknologi kan man gjøre det. Programmet jeg bruker, «Spear», lar meg også velge ut og gjøre enkle endringer på deltonene.

Seks flygler

Det nyeste stykket mitt er en komposisjon for seks flygler! Hvordan kom jeg på en sånn idé? Under en konsert i Steinway-galleriet ble jeg betatt av mulighetene man har i et utstillingslokale til å gjøre noe sånt, og fikk idéen til en konsert der mange flygler brukes samtidig. Etter litt research oppdaget jeg stykket «6 pianos» av Steve Reich, kanskje den mest kjente «klassiske» komposisjonen for denne besetningen.

Selv om det er en meget sjeldent brukt besetning finnes det faktisk faste 6-piano-ensembler, f.eks sextetten Piano Circus basert i London.

denne konserten under Ultima-festivalen framfører «Echo Sextet» (Sanae Yoshida, Anders Torberntsson, Dorina Komani, Alexander Hofstad Berby, Tuuli Lempa og Eirik Fosstveitt) den nye komposisjonen min, samt stykket av Reich.

Verket heter «Reverberations and reflections», og utforsker det klanglige og romlige aspektet ved lyd. Modeller fra bruk innenfor elektronisk musikk av reverb, delay, og spatialisering av lyd har blitt komponert inn i en ren akustisk situasjon.

note

Urframføring av en pianokonsert

Torsdag 18. april ble min nye pianokonsert framført av Dimitris Kostopoulos og Bodø sinfonietta.

Konserten er skrevet i et tonespråk bygget på en harmonikk som hverken er tonal eller atonal. Noen få komplekse akkorder, eller akkordaggregater, danner utgangspunkt for harmonikken. Uttrykksmessig og formalt er verket inspirert av de store romantiske klaverkonsertene, og det solistiske og virtuose kommer til sin rett. Det var viktig for meg å utnytte de klanglige egenskapene til klaveret på best mulig måte.

Verket bruker to motiviske ideer som utgangspunkt for linjer og figurasjoner: et trille-motiv, og et motiv av oppadgående akkorder.

Jeg kom opp til Bodø på tirsdag for å følge prøvene. Veldig spennende, og litt nervepirrende, å høre verket for første gang. Men først og fremst morsomt! Siden jeg har eksperimentert en del med ulike teknikker og notasjonsmåter, er det interessant å høre hvordan det fungerer i praksis, og naturligvis er det noen ting som ikke fungerer helt som jeg har tenkt. Da gjelder det å finne en balansegang mellom å rette opp noen viktige ting, og prøve å unngå å irritere musikerne for mye ved å bruke verdifull prøvetid på små endringer. Musikerne i Bodø sinfonietta er heldigvis imøtekommende og vant til å arbeide med komponister. Og ikke minst: noen ting fungerer bedre enn jeg hadde tenkt! Alltid flott å høre ekte musikere gi liv til musikken.

fra generalprøven

Tittelen på verket er «Konsert for piano og sinfonietta». Jeg tenkte på å finne en mer spennende tittel, men på den annen side, dette er rett og slett en klassisk klaverkonsert der jeg ville jobbe med rent musikalsk materiale. Som programkommentar skrev jeg:

«Verket integrerer flere deler av ulik karakter i én lang sammenhengende sats, og følger en klassisk formtenkning. Pianoet presenterer hovedmaterialet i begynnelsen, en setning som består av to grunnleggende motiviske idéer. Disse to ideene er grunnlaget for hele verket. Pianisten har en solistisk og virtuos rolle, men spiller også kammermusikalsk sammen med resten av ensemblet.»

Hele verket varer ca 30 minutter.